有限元分析法(FEA)的基本概念笔记

有限元法

有限元法是随着计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。是20世纪50年代应用在连续体力学领域，如飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法。之后很快被应用到求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题中做数值分析。

简单的说，有限元法就是将一个连续的求解域（连续体）离散化（即将连续体分割）成彼此用结点（离散点）互相联系的有限个单元。在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，从而得出各结点的未知参数，最后再利用插值函数求出近似解。

有限元法是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得出一种数值计算的近似方法。

有限元法具有以下4个特点：

1. 对于复杂几何构形的适应性。

   由于单元在空间上可以适用一维、二维或三维，而且每一种单元可以有不同的形状，同时各个单元可以采用不同的链接方式，所以实际工程中遇到的非常复杂的结构或构造都可以离散为由单元组合体表示的有限元模型。

   由于单元可以被分割各种形状和大小，所以它能很好地适应复杂的几何形状。复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上成熟的大型软件系统支持，使有限元法称为一种非常受欢迎且应用极广的数值计算法。
2. 对于各种物理问题的适用性。

   由于单元内近似函数分片地表示全求解域的未知场函数，并未限制场函数所满足的方程形式，也未限制各个单元所对应的方程必须有相同的形式，因此它适用于各种物理问题，如弹性问题、弹塑性问题、黏弹性问题、动力问题、屈曲问题、流体力学问题、热传导问题、声学问题、电磁场问题等，并且还适用于各种物理现象的相互耦合的问题。

3. 建立于严格理论基础上的可靠性。

   因为用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上已经证明微积分方程和边界条件的等效积分形式，所以只要元问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的数值算法是稳定可靠的，则随着单元数目的增加（也就是单元尺寸的缩小）或单元自由度数的增加（也就是插值函数阶次的提高），有限元解的近似程度不断地被改进。如果单元是满足收敛准则的，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解。

4. 适合计算机实现的高效性。

   由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一未标准的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和执行。随着计算机硬件技术提升和新的数值算法不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。

有限元分析法(FEA)的基本概念

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。有限元模型可以看作真实结构的一种分格，即把真实结构看作由一个一个小的分块构成，或者是在真实结构上画线，通过这些线，真实结构被分离成一个一个小的部分。

在有限元分析中，如何对模型进行网格划分，以及网格的大小都直接关系到有限元求解结果的正确性和精度。

在进行有限元分析时，应该注意以下3个事项

1. 制定合理的分析方案
   1. 对分析问题力学概念的理解
   2. 结构简化的原则
   3. 网格疏密与形状的控制
   4. 分布实施的方案
2. 目的与目标明确
   1. 初步分析还是精确分析
   2. 分析精度的要求
   3. 最终需要获得的是什么
3. 不断地学习与积累经验

   利用有限元分析问题时的简化方法与原则:在划分网格时主要考虑结构中对结果影响不大但建模十分复杂的特殊区域的简化处理。同时需要明确进行简化对计算结果带来的影响是有利的还是无利的。对于装配体的有限元分析，首先明确装配关系；对于装配后不出现较大装配应力同时在进行结构变形时装配处不应发生相对位移的链接，可采用两者之间连为一体的处理方法，但连接处的应力是不准确的，这一结果并不影响远处的应力与位移，对于装配后出现较大应力或在进行结构变形时装配处发生相对位移的链接，需要按接触问题处理。